Local normal forms for c-projectively equivalent metrics and proof of the Yano-Obata conjecture in arbitrary signature. Proof of the projective Lichnerowicz conjecture for Lorentzian metrics

Two Kähler metrics on a complex manifold are called c-projectively equivalent if their J-planar curves coincide. These curves are defined by the property that the acceleration is complex proportional to the velocity. We give an explicit local description of all pairs of c-projectively equivalent Kähler metrics of arbitrary signature and use this description to prove the classical Yano-Obata conjecture: we show that on a closed connected Kähler manifold of arbitrary signature, any c-projective vector field is an affine vector field unless the manifold is CP n with (a multiple of) the Fubini-Study metric. As a by-product, we prove the projective Lichnerowicz conjecture for metrics of Lorentzian signature: we show that on a closed connected Lorentzian manifold, any projective vector field is an affine vector field. Formes normales locales des métriques c-projectivement équivalentes et preuve de la conjecture de Yano-Obata en signature arbitraire. Preuve de la conjecture projective de Lichnerowicz pour les métriques lorentziennes Deux métriques kählériennes sur une variété complexe sont appelées c-projectivement équivalentes si leurs courbes J-planaires coïncident. Ces courbes sont définies par la propriété que l’accélération est proportionnelle (au sens complexe) à la vitesse. Nous donnons une description locale de tous les paires de métriques kählériennes c-projectivement équivalentes de signature arbitraire et utilisons cette description pour prouver la conjecture classique de Yano-Obata: nous montrons que sur une variété kählérienne de signature arbitraire, connexe et fermée, tout champ de vecteurs c-projectif est un champ de vecteur affine sauf si la variété est CP n muni de la métrique de Fubini-Study. En tant que sous-produit, nous prouvons la conjecture de Lichnerowicz pour les métriques de signature lorentzienne. Plus précisément, sur une variété lorentzienne connexe fermée tout champ de vecteurs projectif est un champ de vecteurs affine.